** Congélation d'aliments

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps \(t\) est exprimé en heures.

Une entreprise congèle des aliments dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant \(t = 0\) , les aliments, à une température de \(5\) °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les aliments aient une température inférieure ou égale à \(-24\) °C.

Partie A

La température des aliments dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps \(t\) par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0~;+\infty[\) par \(f (t) = 35\mathrm{e}^{-1,6t}-30\) .

1. Déterminer la température atteinte par les aliments au bout de \(30\) minutes.

2. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\) .

3. Si les aliments sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température de ces aliments sera-t-elle conforme au cahier des charges ?

4. Résoudre par le calcul l'équation \(f(t)=-24\) et interpréter le résultat trouvé.

Partie B

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des aliments dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction \(g\) définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;+\infty[\) , qui est solution de l'équation différentielle \(y'+1,\!5y=-52,\!5\) .

1. Résoudre l'équation différentielle   \(y'+1,\!5y=-52,\!5\) .

2. a. Justifier que \(g(0) = 5\) .
    b. Vérifier que la fonction \(g\) est définie par \(g(t) = 40\mathrm{e}^{-1,5t}-35\) .

3. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?