** Congélation d'aliments

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ est exprimé en heures.

Une entreprise congèle des aliments dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant $t=0$ , les aliments, à une température de $5$ °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les aliments aient une température inférieure ou égale à $-24$ °C.

Partie A

La température des aliments dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps $t$ par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(t)=35{\mathrm{e}}^{-1,6t}-30$ .

1. Déterminer la température atteinte par les aliments au bout de $30$ minutes.

2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ .

3. Si les aliments sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température de ces aliments sera-t-elle conforme au cahier des charges ?

4. Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé.

Partie B

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des aliments dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$ , qui est solution de l'équation différentielle $y^{\prime }+1,5y=-52,5$ .

1. Résoudre l'équation différentielle   $y^{\prime }+1,5y=-52,5$ .

2. a. Justifier que $g(0)=5$ .
    b. Vérifier que la fonction $g$ est définie par $g(t)=40{\mathrm{e}}^{-1,5t}-35$ .

3. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?